BRINCANDO COM O ABSURDO NA MATEMÁTICA

Brincando com absurdos

1) Usando seqüências infinitas

Esse é um assunto muito interessante que pode trazer algumas discussões com os alunos, mostrando que diferentes pontos de vista podem trazer diferentes resultados e conclusões às vezes absurdas, necessitando uma análise e interpretação cuidadosa.

Por exemplo:

Seja a seqüência infinita R = {1; -1; 1; -1; 1; -1; ...}. Seja S a soma destes termos, logo:

S= (1-1) + (1-1) + (1-1) +...= 0

Portanto S = 0 ( I )

Mas em se tratando de uma seqüência infinita, vamos começar a somar a partir do 2° termo e ver o que vai acontecer:

S = 1 + (-1+1) + (-1 +1) + (-1+1) +..... = 1

Nesta abordagem, S = 1 ( II )

Usando outra abordagem, teremos então que:

S = 1 + (-1) + 1 + (-1) + ....

Subtraindo 1 em ambos os termos, teremos:

S – 1 = 1 – 1 + (-1) + 1 + (-1) + ...

S – 1 = (-1) + 1 + (-1) + ...


E a parte do lado direito da igualdade será igual a –S, ou seja:

-S = (-1) + 1 + (-1) + ...

portanto, S – 1 = - S => S + S = 1 => 2S = 1 => S = ½

Agora, S = ½ ! ( III )

Logo, através destes pontos de vista, de I, II e III temos o absurdo

S = 0 = 1 = ½ ou que 0 = 1 = ½


2) Fazendo 2 = 1

Começamos fazendo a seguinte comparação

a = b

multiplicando ambos por a, fica

a^2 = ab

Obs.: a^2 significa: “a elevado ao quadrado”.

subtraindo ambos os termos, por (–b^2), temos

a^2 – b^2 = ab – b^2

(a – b) ( a + b) = b (a – b)

dividindo tudo por (a-b) fica

a + b = b

se a = b, então

a + a = a

2 a = a

dividindo tudo por a, temos

2 = 1

O que também é um absurdo!



Agora seria interessante fazer uma discussão com os alunos e racionalmente chegar aos motivos destes resultados absurdos.