quinta-feira, 29 de abril de 2010

AGULHA DE BUFFON

Para que serve isso?
Essa é a famosa pergunta que ouvimos de nossos alunos quando apresentamos algo da matemática, onde a aplicação muitas vezes não aparece de imediato. Uma boa história para contar aos alunos e ilustrar esse fato, é sobre a Agulha de Buffon, que abaixo lhes conto.

Conta a história que, um advogado e naturalista chamado Georges Louis Leclerc, também conhecido na época como Conde de Buffon, na corte de Luis XV, rei da França no século XVIII, foi nomeado em 1733 como diretor do Jardim do Rei, hoje denominado Jardin des Plantes, localizado na famosa Paris.
Um belo dia, passeando pelo jardim, Buffon sofreu uma queda e teve que ficar vários meses de pernas para o ar. Apesar de Advogado e Naturalista, Buffon tinha como um de seus grandes interesses, a matemática. Enquanto estava imobilizado, para "passar o tempo", ele observou o assoalho formado por ripas e começou a jogar a haste com que limpava o cachimbo, no chão. Ele notou que a haste, que possuia o mesmo comprimento da largura das ripas, hora cruzava (ou tocava) as linhas das divisórias entre as ripas e, outras vezes, esse fato não acontecia. A partir daí, ele criou um interessante problema matemático de probabilidade usando geometria:

- "Sei que o comprimento da haste é igual à largura das tábuas e já determinei o quociente entre o número de vezes que a haste cai sobre uma das linhas, que dividem as tábuas, e o número de vezes que joguei a haste, o que posso concluir? Se eu considero como um jogo a minha distração e digo que ganhei, quando a haste cair na linha, posso usar o quociente que achei como a medida da sorte."

Ao calcular o "quociente da sorte", para um grande número de jogadas, chegou a sequinte conclusão:

- "O número que mede a chance de eu obter um acerto é aproximadamente 2/pi."

A partir daí, criou-se o sequinte problema, denominado de a Agulha de Buffon:

"Jogando uma agulha de comprimento a, sobre faixas desenhadas no chão de largura d, onde a é menor ou igual a d, qual é a probabilidade dessa agulha tocar ou cruzar uma das linhas"?

A solução: P = 2a/d.pi

Na época, esta fórmula não tinha muita utilidade, parecendo pura perda de tempo, mas nos nossos dias, já se encontrou diversas utilidades, como segue abaixo:


1- Determinação do comprimento total dos canais de escoamento de uma bacia hidrográfica.


2 - Cálculo do valor de pi: O caso mais conhecido é do Matemático italiano M. Lazzerini que em 1901 realizou 34080 lançamentos, obtendo o valor aproximado de pi=3,1415929 (correto até a sexta casa decimal).


3 - Serviu de base para a criação de uma poderosa ferramenta de simulação de cálculo numérico como o método de Monte Carlo, cuja aplicação a problemas matemáticos e fenomenos de natureza estocástica, é hoje de grande importância.


4 - Construção de uma aparelho de raio x, que aliados a computação, podia "jogar" feixes paralelos no corpo humano, de forma que fosse possível mensurar e converter em imagem tridimensional partes ou objetos inacessíveis. Estava então criado o tomógrafo computadorizado e posteriomente, utilizando o mesmo método, o aparelho de ressonância magnética. Esta invenção "rendeu" o Prêmio Nobel de medicina em 1979 a Allan M. Cormack e Godfrey N. Hounsfield.

A demonstração da fórmula está em anexo. Trata-se de um reprodução da apresentação do Prof. Dr. Nilson José Machado, a quem me desculpo por qualquer falha que porventura tenha cometido na demosntração.



Para saber mais:

http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/02/MC88994023704.pdf
http://www.invata-mate.info/portugheza/historyDetail.htm?id=Buffon
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_4e5.pdf
http://www.ipef.br/publicacoes/scientia/nr37/cap09.pdf
http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/numero-pi/numero-pi.php
http://revistaescola.abril.com.br/ensino-medio/toda-imagem-feita-equacoes-427367.shtml

Costa, Carlos Oliveira e Ribeiro, Alvaro Silva. Contribuição do problema de Buffon-Laplace para compreensão dos métodos de simulação. LNEC, 2008.

2 comentários:

  1. obrigadooooo precisafa saber dessa historia pra fazer um trabalhoo

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  2. gostei mt legal

    simples e fácil ms muito interessante

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